卡爾並不相信這些焦慮是雷內行為古怪的原因。果真是這樣的話，他覺得自己肯定會發現蛛絲馬跡。但他現在得到的印象卻全然不是這麼回事。令雷內感到苦惱的無論是什麼，反正他猜不透。這使他感到煩惱。
6
1931年，庫特哥德爾⑥證明了兩大定理。第一個定理實際上表明：數學包含或許是真實的、但在本質上卻無法證明的陳述。甚至簡單如算術的形式系統也可以包括精確，有意義，而且似乎真實無疑的陳述，但卻無法用形式方法加以證明。
他的第二個定理表明：斷言算術具有邏輯上的一致性，這就是上面所說的那種陳述之一，采用算術公理的任何方法都不能證明其真實性。也就是說，作為一種形式系統的算術無法保證不會得出1=2這樣的結果。這樣的矛盾也許永遠不會遇到，但卻無法證明絕對不會遇到。
6a
卡爾再次走進雷內的書房。她站在書桌跟前，抬頭看他。他鼓起勇氣說：雷內，顯然是
她打斷她的話，你想知道我煩惱的原因嗎？好吧，我告訴你。說著雷內便拿出一張白紙，坐在書桌跟前，等一下，這需要一點時間。卡爾又張開嘴，但雷內揮手示意他保持沉默。接著，她深深地吸了一口氣，開始寫起來。
她畫了一條線，穿過紙的中央，將紙分成兩欄。然後，她在一行的頂部寫下數字1，另一行的頂部寫下數字2。接著在這兩個數字下面迅速潦草地畫一些符號，又在這些符號下面的行列裏把它們擴展成一串串別的符號。她邊寫邊咬牙切齒，寫下那些文字時，感覺好像她正用指甲刮過黑板似的。
寫到紙的三分之二左右時，雷內開始將長串長串的符號減少成連續的短串符號。她心裏想，現在要到關鍵處了。她意識到自己在紙上用力過重了，下意識地放松握在手中的鉛筆。在她下面寫出的那一行上，符號串變成相等了。接著，她重重地寫了個=號，橫過紙的底部中心線。
她將紙遞給卡爾。他望著她，表示看不懂。看一看頂部吧。他照辦了，再看一看底部。
他眉頭緊鎖。我還是看不懂。
我發現了一種體系，可以使任何數字等於任何別的數字。這張紙上就證明了一和二是相等的。你隨便挑兩個數字，我都可以證明它們是相等的。
卡爾似乎竭力在回憶什麼。裏面肯定出現了以零為被除數的情況，對嗎？
不對。沒有不符合規則的運算，沒有不嚴謹的術語，沒有想當然假定的獨立公理，全都沒有。證明過程絕對沒有采用任何規則禁止的東西。
卡爾搖了搖頭。等一下。顯然一和二是不相等的。
但在形式上它們是相等的：證明就在你手裏。我使用的一切方法都是絕對無可爭議的。
但這兒不就是矛盾嗎？
說對了。也就是說，算術作為一種形式系統，是不一致的。
6b
你找不出錯誤來，這就是你的意思嗎？
不對，你沒有聽。你以為我是因為這種情況才焦頭爛額的嗎？證明本身並沒有錯誤。
你的意思是說，用的方法都是對的，結果卻出了錯？
正確。
你肯定他戛然而止，卻太晚了。她瞪著他。她當然清楚他想說的是什麼。不知她的目光是什麼意思。
你懂嗎？雷內道，我已經推翻了大半個數學：這門學問全都沒意義了。
她焦躁起來，幾乎快發瘋了。卡爾小心翼翼地選擇著字眼，你怎麼能這麼說？數學仍然有作用。科學和經濟並不會因為你這個領悟而突然崩潰的。
這是因為他們使用的數學純粹是騙人的把戲。是一種口訣式的小玩意兒，跟用指關節來計算哪些月份有三十一天一樣。
不一樣。
為什麼不一樣？現在，數學與現實絕對毫無關系。且不說像虛數或者無窮小數之類的概念，現在，就連該死的整數加法都跟用指頭計算毫無關系。你用指頭計算，一加一始終等於二，但在紙上我可以給你無窮多的答案，這些答案全都同樣有效，這意味著它們全都同樣無效。我可以寫出你見過的最優美的定理，但它卻不過是一個瞎扯淡等式。她苦笑起來，實證主義者曾經說一切數學都是同義反複。他們錯了：數學是自相矛盾。
卡爾試了試另一種方式。等一下。剛才你提到虛數這類想像出來的概念，大家不也一樣接受了嗎？現在不也可以這樣嗎？數學家們曾經相信虛數沒有意義，可是現在它們成了數學的基礎概念。情況完全是一樣的呀。
不一樣。當時的解決方法只是擴展語境，用在這裏不起作用。虛數給數學增添新的內容，而我的形式系統卻是給已經存在在那裏的東西下定義。
但是，如果你改變語境，從不同的角度探索
第22頁完，請續下一頁。喜歡 Amo hot驚悚小說，請記得按讚、收藏及分享